초3 분수와 소수 크기 비교 쉽게 설명하기｜아이와 실제 수업

지난 시간에는 분수와 소수의 기본 개념과 분수의 크기를 비교하는 방법을 아이와 공부 했었다. 이번에는 EBS 초등 수해력 15강을 이어서 공부하며 초3 분수와 소수 크기 비교를 다시 복습하고, 여러 가지 응용 문제도 함께 풀어 보았다.

오늘 수업에서는 단순히 숫자의 크기만 보고 답을 고르기보다, 분수와 소수가 각각 무엇을 나타내는지 이해하면서 크기를 비교하는 데 중점을 두었다. 특히 소수는 자연수 부분부터 비교하고, 자연수 부분이 같을 때 소수 첫째 자리를 비교하는 방법을 다시 확인했다.

이번 수업의 학습 목표

강의를 먼저 보면서 나도 문제를 풀어 보았다. 어른인 내가 보면 간단해 보이는 문제도 아이 입장에서는 숫자가 표현되는 방법이 달라지면 충분히 헷갈릴 수 있겠다는 생각이 들었다. 그래서 이번에도 답을 빨리 찾는 것보다 왜 그런 답이 나오는지 이해하는 것에 중점을 두고 공부해 보기로 했다.

오늘은 크게 세 가지를 확인했다.

1. 소수의 크기를 비교하는 방법 알기
2. 소수를 ‘0.1이 몇 개인 수’로 이해하기
3. 조건에 맞는 소수를 찾아 문제에 적용하기

소수의 크기는 어떻게 비교할까?

먼저 1.2와 1.7의 크기를 비교해 보았다. 두 수 모두 자연수 부분이 1로 같다. 자연수 부분이 같다면 그다음 소수 첫째 자리를 비교하면 된다.

2보다 7이 크므로 1.2 < 1.7이 된다.

아이에게 설명할 때는 단순히 ‘2보다 7이 크니까 1.7이 더 커.’라고만 말하지 않았다. 먼저 1.2는 0.1이 12개인 수이고, 1.7은 0.1이 17개인 수라고 다시 풀어서 설명해 주었다.

“똑같은 0.1을 12개 가지고 있는 것과 17개 가지고 있는 것 중 어느 쪽이 더 많을까?” 라고 물어보니 아이도 17개라고 대답했다. 그래서 0.1이 더 많이 모여 있는 1.7이 1.2보다 큰 수라는 것을 함께 확인했다.

1.2를 쪼개 보면, 1.2 = 1 + 0.2

소수의 크기를 비교할 때는 자연수 부분부터 비교하고, 자연수 부분이 같으면 소수 첫째 자리를 비교한다.

그림을 보고 분수의 크기 비교하기

다음에는 그림으로 나타낸 분수의 크기를 비교했다. 같은 전체를 똑같이 나누어 놓은 그림에서는 먼저 전체를 몇 부분으로 나누었는지 확인하고, 그중 몇 부분이 색칠되어 있는지를 살펴보았다.

예를 들어 전체를 똑같이 4등분했을 때 2칸이 색칠되어 있다면 2/4, 3칸이 색칠되어 있다면 3/4로 나타낼 수 있다. 두 분수는 분모가 모두 4이므로 한 조각의 크기는 같다. 따라서 같은 크기의 조각을 2개 가진 2/4보다 3개 가진 3/4가 더 크므로 2/4 < 3/4가 된다.

이 내용은 지난 시간에 분모가 같은 분수의 크기를 비교하면서 자세히 공부했기 때문에, 이번에는 아이가 분모가 같으면 한 조각의 크기가 같고 분자가 큰 분수가 더 크다는 원리를 기억하고 있는지만 간단히 확인한 뒤 넘어갔다.

10칸 그림을 소수로 나타내기

이번에는 전체 1을 똑같이 10칸으로 나눈 그림을 살펴보았다. 전체를 10등분한 것 중 한 칸은 1/10 = 0.1이다. 따라서 6칸이 색칠되어 있다면 0.6, 9칸이 색칠되어 있다면 0.9가 된다. 0.6은 0.1이 6개이고, 0.9는 0.1이 9개이므로 0.6 < 0.9이다.

아이에게 소수를 단순히 점이 찍힌 숫자로 보지 않고 0.1이 몇 개 모여 있는 수인지 생각해 보게 했다. 이 개념이 뒤에 나오는 문제를 풀 때 중요했다.

1.4는 왜 0.1이 14개일까? 다음 문제에서는 1.4와 3.2를 0.1의 개수로 생각해 보았다. 여기서 아이가 헷갈릴 수 있는 부분이 있었다. 1.4를 보고 소수점 뒤에 4가 있으니
‘0.1이 4개인가?’ 라고 생각할 수 있기 때문이다. 그래서 먼저 1이 0.1 몇 개인지부터 다시 확인했다.

1 = 0.1이 10개이다.

그렇다면 1.4 = 1 + 0.4 이고, 1은 0.1이 10개, 0.4는 0.1이 4개이다. 따라서 1.4 = 0.1이 14개인 수 가 된다.

3.2도 같은 방법으로 생각할 수 있다. 

3은 0.1이 30개이고, 0.2는 0.1이 2개이므로 3.2 = 0.1이 32개인 수이다.

나는 아이에게 이렇게 설명했다.

“1을 그냥 1이라고만 생각하지 말고 오늘은 0.1짜리 10개가 모인 것이라고 생각해 보자.”
이렇게 바꾸어 생각하니 1.4가 왜 0.1이 14개인지 조금 더 쉽게 연결할 수 있었다.

7.2와 ‘0.1이 69개인 수’ 비교하기

다음 문제는 조금 다르게 표현되어 있었다. 7.2와 ‘0.1이 69개인 수’ 중 어느 수가 더 클까?

한쪽은 7.2라고 쓰여 있고 다른 한쪽은 ‘0.1이 69개인 수’라고 되어 있으니 바로 비교하기보다 먼저 같은 형태로 바꾸어 보았다.

0.1이 10개이면 1이다. 그러므로 0.1이 60개이면 6,
0.1이 9개이면 0.9이다. 따라서 0.1이 69개인 수 = 6.9가 된다.

7.2와 6.9 중 어느 수가 더 큰가?

여기서도 자연수 부분부터 비교했다. 7.2의 자연수 부분은 7이고, 6.9의 자연수 부분은 6이다.7이 6보다 크므로
7.2 > 6.9이다.

이 문제에서 아이가 소수점 뒤에 있는 2와 9만 보고 6.9가 더 크다고 생각하지 않는지도 확인했다.

0.3 < 0.□ < 0.8

나는 이렇게 설명했다.
“6.9는 아직 7보다 작은 수야. 그런데 7.2는 이미 7을 넘었지? 그러니까 뒤에 있는 9가 2보다 크더라도 7.2가 더 큰 거야.”

소수는 숫자 하나만 떼어 비교하는 것이 아니라 자연수 부분부터 차례대로 비교해야 한다는 것을 다시 확인했다.

여러 단위분수의 크기 비교하기

다음에는 1/3, 1/8, 1/2, 1/5, 1/4 의 크기를 비교했다 .이 내용은 앞선 분수 수업에서 자세히 공부했기 때문에 이번에는 복습만 했다.

모두 분자가 1인 단위분수다.
같은 크기의 전체를 2등분한 한 조각과 8등분한 한 조각을 생각하면, 2등분한 한 조각이 더 크다.

따라서 큰 수부터 놓으면 1/2 > 1/3 > 1/4 > 1/5 > 1/8이 된다. 단위분수는 같은 전체를 많이 나눌수록 한 조각이 작아진다.

1/64가 왜 가장 작을까?

EBS수해력3강의(문제집 143P 12번) 호루스의 눈 그림과 함께1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64를 비교하는 문제도 나왔다.

아이는 문제를 잠깐 보더니 숫자가 계속 커지는 것만 보고 처음에는 1/64가 가장 크다고 생각했다. 우리 아이에게는 문제를 끝까지 읽기보다 눈에 보이는 숫자만 보고 급하게 답을 고르는 나쁜 공부습관이 하나 있었다. 초등 공부를 하다 보면 이런 작은 습관 때문에 알고 있는 문제도 틀리는 경우가 생각보다 많았다.

그래서 요즘 아이와 함께 공부할 때는 문제를 많이 푸는 것보다 초등 시기에 잘못 자리 잡은 공부습관을 하나씩 고치는 것에도 신경 쓰고 있다. 문제를 보자마자 답부터 찾지 않고, 무엇을 묻는지 끝까지 읽은 뒤 알고 있는 개념을 떠올려 보는 연습을 반복하고 있다.

이번 문제도 다시 천천히 살펴보게 했다. 숫자의 크기만 보는 것이 아니라, 이 분수들이 어떤 공통점을 가지고 있는지부터 찾아보자고 했다.

확인해 보니 모두 분자가 1인 단위분수였다.

같은 전체를 2등분한 한 조각보다 4등분한 한 조각이 작고, 4등분한 한 조각보다 8등분한 한 조각이 더 작다. 즉, 같은 전체를 더 많이 나눌수록 한 조각의 크기는 점점 작아진다.

따라서 작은 분수부터 차례대로 놓으면 1/64 < 1/32 < 1/16 < 1/8 < 1/4 < 1/2가 된다. 나는 아이에게 숫자 64 자체를 크게 보지 않도록 다시 설명했다.

“64가 크다는 건 이 조각이 크다는 뜻이 아니야. 같은 것을 64조각으로 아주 잘게 나눴다는 뜻이야. 그러면 그중 한 조각은 훨씬 작아지겠지?”

이렇게 다시 생각해 보니 아이도 왜 1/64가 가장 작은지 이해했다. 단위분수에서는 분모의 숫자 크기만 보는 것이 아니라, 전체를 몇 등분했는지 먼저 생각하는 습관이 중요했다.

0.4보다 크고 0.9보다 작은 수 찾기

다음 문제는 모양부터 조금 달랐다.

0.4 < 0.□ < 0.9

□ 안에 들어갈 수 있는 자연수를 찾는 문제였다.

잠깐 다른 이야기를 하자면, 우리 아이는 3학년 덧셈과 뺄셈을 처음 공부할 때도 이런 ‘어떤 수’ 문제를 정말 어려워했었다. 단순히 계산하는 문제는 비교적 잘 풀었지만, 문제 속에 네모칸이 들어가면 무엇을 구해야 하는지 지문의 뜻을 이해하는 데 시간이 오래 걸렸다.

아이들 입장에서는 숫자 대신 네모칸 하나만 들어가도 문제 모양이 달라 보이기 때문에, 알고 있는 계산도 갑자기 낯설게 느껴질 수 있는 것 같다.

이번 문제도 부등호가 양쪽에 있고 가운데 네모칸까지 있으니 처음에는 복잡하게 느껴질 수 있었다. 그래서 식을 그대로 보게 하기보다 먼저 말로 바꾸어 설명했다.

“0.4보다 크면서 0.9보다 작은 수를 찾아보자.”
0.4부터 차례대로 적어 보면 0.4 → 0.5 → 0.6 → 0.7 → 0.8 → 0.9가 된다.

0.4보다 커야 하므로 0.4는 제외하고, 0.9보다 작아야 하므로 0.9도 제외한다.그 사이에 있는 수는0.5, 0.6, 0.7, 0.8이다. 따라서 □ 안에 들어갈 수 있는 자연수는 5, 6, 7, 8이다.

아이에게는 부등호와 네모칸을 한꺼번에 보며 어렵게 생각하지 말고, “0.4와 0.9 사이에 어떤 수들이 있을까?”라고 문제를 다시 바꾸어 생각하게 했다. 문제의 모양이 달라져도 결국 무엇을 묻는지 말로 풀어보면 훨씬 쉽게 이해할 수 있었다.

7.2 < 7.□ < 7.8 설명을 들으면 아는데 문제만 보면 헷갈리는 이유

문제: 7.2 < 7.□ < 7.8
나는 아이가 영상을 보기 전에 이런 문제가 나오면 먼저 한 번 물어본다.

“이 문제, 어떻게 풀어야 할 것 같아?”

그런데 아이는 설명을 듣기 전에는 문제를 한참 바라보다가 잘 모르겠다고 할 때가 많다. 나중에 영상을 보거나 내가 하나씩 풀어서 설명해 주면 “아, 이거였어?” 하며 금방 이해한다.

아이는 개념을 전혀 모르는 것이 아니라, 문제의 모양이 낯설어서 무엇을 하라는 문제인지 바로 연결하지 못하는 경우가 많았다.

나 역시 처음 이 문제를 봤을 때 비슷했다. 지문을 읽지 않은 채 바로 문제를 보게 되면 7.2 < 7.□ < 7.8처럼 숫자와 부등호, 네모칸이 함께 나오니 순간적으로 “이게 뭐야?”라는 생각이 들었다. 그리고 문제를 읽어 보면 아.. 나조차도 문제만 보면 정말 생소한데 아이는 더 그렇겠구나 싶었다. 이럴때 나는 아이와 함께 영상을 본 뒤 대화를 하며 풀기 시작한다.

7.2보다 크고 7.8보다 작은 수를 찾기!

강의 설명을 듣고 나면 아이는 아무렇지 않듯이 문제를 이해하고 풀기 시작한다. 그리고 나는 문제를 풀때 아이가 답만 바로 적지 않도록 항상 주의를 준다. 귀찮고 번거롭더라도 아직은 꼭 풀이를 써보고 답을 쓰자고 말한다.

아이와 함께 숫자를 순서대로 적는다.
7.2 → 7.3 → 7.4 → 7.5 → 7.6 → 7.7 → 7.8

7.2보다 크고 7.8보다 작은 수는 

7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7

따라서 □에 들어갈 수 있는 자연수는

3, 4, 5, 6, 7이다.

이 문제에서는 자연수 부분이 모두 7로 같다. 그러므로 자연수 부분은 비교할 필요가 없고, 소수 첫째 자리에서 2보다 크고 8보다 작은 숫자를 찾으면 된다.

아이와 공부하면서 느끼는 것은, 어떤 문제는 계산이 어려워서가 아니라 문제 표현 방식이 낯설어서 어렵게 느껴진다는 점이다. 설명을 듣고 나면 바로 이해하는 문제도 처음 보는 형식에서는 막힐 수 있기 때문에, “이 문제를 말로 바꾸면 무슨 뜻일까?”를 함께 얘기하며 풀려고 한다.

숫자 카드로 두 번째로 큰 소수 만들기

강의 뒤에는 숫자 카드로 소수를 만드는 문제도 나왔다. 2, 7, 6 세 장의 숫자 카드 중 두 장을 한 번씩 사용하여 한 자리 소수를 만드는 문제였다. 이 문제도 아이에게 영상을 보기 전에 묻고 이해를 못 해서 함께 영상을 보았다.

처음에는 숫자 카드와 소수점이 함께 나오니 무엇부터 해야 할지 잠시 망설였다. 하지만 문제의 뜻을 하나씩 풀어 주자 금방 이해했다.

“숫자 두 개를 골라서 □.□ 모양의 소수를 만들어보자. 그중에서 두 번째로 큰 수를 찾으면 돼.”

만들 수 있는 수들을 아이와 노트에 적었다.
2.6, 2.7, 6.2, 6.7, 7.2, 7.6
긜고 난 후 아이가 찾는다.

모든 수를 하나씩 만들어 볼 수도 있지만 자연수 부분부터 생각하면 더 빠르게 찾을 수 있다. 가장 큰 숫자인 7을 소수점 앞에 놓으면 큰 수를 만들 수 있기 때문이다. 7로 시작하는 수는 7.2와 7.6이고, 7.6 > 7.2이므로 가장 큰 수는 7.6, 두 번째로 큰 수는 7.2가 된다.

이런 문제를 풀 때 아이에게 조금 번거롭더라도 풀이 과정을 꼭 적게 하는 이유가 있다. 머릿속으로는 답을 맞게 생각해 놓고도 마지막에 다른 숫자를 답으로 적거나, 중간에 생각했던 조건 하나를 놓쳐 틀리는 경우가 있었기 때문이다.

그래서 요즘은 매일 수학 문제를 풀 때 “답만 쓰지 말고 네가 어떻게 생각했는지 적어 봐.”라고 반복해서 말하고 있다. 초등 3학년은 앞으로 수학이 조금씩 복잡해지는 시기인 만큼, 지금부터 답만 빨리 찾는 습관보다 문제를 읽고 생각한 과정을 차근차근 적는 기본 공부습관을 만들어 두는 것이 중요하다고 생각한다.

당장은 풀이 과정을 쓰는 일이 귀찮게 느껴질 수 있지만, 이런 작은 습관이 쌓이면 나중에 문제가 길어지고 계산 과정이 많아졌을 때 같은 실수를 반복하는 것을 줄이는 데 도움이 될 것 같다.

3.4보다 크고 5.3보다 작은 소수 만들기

마지막에는 숫자 카드 1, 4, 5, 2를 이용해 조건에 맞는 소수를 만드는 문제를 살펴보았다.

조건은 3.4보다 크고 5.3보다 작은 소이다.

처음부터 숫자 카드를 이것저것 조합하기보다 자연수 부분부터 생각해 보았다. 1이나 2로 시작하면 3.4보다 작기 때문에 사용할 수 없다. 따라서 자연수 부분에는 4 또는 5가 올 수 있다.

4로 시작하면 4.1, 4.2, 4.5를 만들 수 있고 모두 조건에 맞는다.

5로 시작하면 5.3보다 작아야 하므로 5.1, 5.2가 가능하다.

5.4는 5.3보다 크기 때문에 제외한다.

따라서 조건을 만족하는 수는4.1, 4.2, 4.5, 5.1, 5.2이다.

이 문제에서는 모든 경우를 무작정 만드는 것보다 “먼저 소수점 앞에는 어떤 숫자가 올 수 있을까?”를 생각하는 것이 훨씬 쉬웠다.

오늘 배운 내용 확인 문제

강의를 마친 뒤에는 아이가 개념을 이해했는지 확인하기 위해 숫자만 조금 바꾸어 문제를 만들어 보았다.

1번. 2.4와 2.9 중 더 큰 수는 무엇일까?

답: 2.9
자연수 부분이 같으므로 소수 첫째 자리 4와 9를 비교한다.

2번. 0.1이 36개인 수를 소수로 나타내면?

답: 3.6
0.1이 30개이면 3이고, 6개이면 0.6이다.

3번. □에 들어갈 수 있는 자연수 모두는?  5.2 < 5.□ < 5.7

답: 3, 4, 5, 6

4번. 다음 단위분수를 큰 것부터 1/6, 1/2, 1/9, 1/4 차례대로 쓰기!

답: 1/2 > 1/4 > 1/6 > 1/9

EBS 수해력 15강 복습을 마치며

이번 15강에서는 분수의 크기 비교는 앞에서 배운 내용을 간단히 복습하고, 소수의 크기 비교와 응용 문제를 중심으로 공부했다. 특히 이번 수업에서 아이가 정확히 이해했으면 했던 것은 세 가지였다.

소수는 자연수 부분부터 비교한다.
1은 0.1이 10개이므로 1.4는 0.1이 14개이다.
0.4 < 0.□ < 0.9처럼 복잡해 보이는 문제도 결국 두 수 사이에 어떤 수가 있는지 찾는 문제이다.

이번에도 문제를 많이 푸는 것보다 아이에게 한 번 더 물어보았다.

“왜 그렇게 생각했어?”

답을 맞히는 것에서 끝내지 않고, 아이가 자기 말로 이유를 설명할 수 있는지 확인한다. 설명하다가 다시 머뭇거리거나 헷갈리는 문제는 그 자리에서 오래 붙잡고 있기보다 다음날 공부할 때 잠깐 다시 짚어 준다.

한 문제를 너무 오래 끌고 있으면 아이도 금방 지치기 때문이다. 나는 아이가 80% 정도 이해한 것 같다면 그날은 여기까지 하고, 다음날 다시 한 번 확인하는 편이다. 하루 쉬었다가 다시 보면 오히려 더 쉽게 이해하는 경우도 많았다.

학교에서 이미 배운 내용이라도 문제의 모양이 조금만 달라지면 헷갈리는 부분이 생길 수 있었다. 그래서 이번 방학에는 이런 부분을 하나씩 찾아 다시 설명하고, 무조건 완벽하게 끝내려 하기보다 아이가 이해한 만큼 차근차근 쌓아가며 다음 진도로 넘어가려고 한다.

아이와 함께 공부한 내용을 기록하는 이유

나는 수학을 가르치는 선생님도, 전문적으로 아이들을 지도하는 사람도 아니다. 다만 집에서 아이와 일대일로 공부하다 보면 어른에게는 쉬워 보이는 내용도 아이에게는 전혀 다르게 느껴질 때가 많았다.

그래서 이 글에는 우리 아이가 실제로 궁금해했던 부분과 헷갈렸던 문제, 그리고 내가 아이 눈높이에 맞춰 어떻게 다시 설명했는지를 담고 있다.

내 아이가 궁금했던 부분이라면 다른 아이도 비슷하게 어려워할 수 있고, 나처럼 집에서 아이와 공부하며 어떻게 설명해야 할지 고민하는 부모도 있을 거라 생각한다.

앞으로도 아이와 함께 공부하며 생기는 실제 질문과 시행착오, 우리 집에서 효과가 있었던 설명 방법을 하나씩 기록해 보려고 한다.

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출처: 홈공부 | homegongbu.com